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考研数学之实对称矩阵的特征值和特征向量

来源:广东中公考研 发布日期:2019-08-30 14:05:06

     广东研招网小编给大家整理了“考研数学之实对称矩阵的特征值和特征向量”相关内容,希望能帮助到各位考生。

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  浅析实对称矩阵的特征值和特征向量

  各位考研的学子们大家好,欢迎大家来到中公考研,今天要给介绍的是线性代数这门学科。线性代数在考试当中分值为34分,其中2个选择题4分*2,1个填空题4分,两个解答题11分*2。而且大家都知道线性代数这门学科是比较好得分的,主要原因为它的出题方向和出题思路都是固定。比如说两道大题出题方向为,第一题是关于向量与线性方程组方面的知识,第二题的出题方向为相似对角化与二次型。而今天要给大家介绍的实对称矩阵的特征值和特征向量的知识,就是针对第二题考查的方向相似对角化部分知识。因为特征值和特征向量与相似对角化密切相关。此外,如果一个矩阵是实对称矩阵的话,它的特征值和特征向量有如下特征和定理。

  1. 实对称矩阵。

  设A为实对称矩阵,则A所有的元素都为实数,且满足 若A为实对称矩阵,则关于A的特征值与特征向量,我们有如下结论。

  定理1:A的所有特征值均为实数。

  定理2:A属于不同特征值的特征向量必正交。

  定理3:A一定有n个线性无关的特征向量,即A可以对角化。且存在正交矩阵Q,使得 ,其中 为矩阵A的特征值。我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵。

  2. 考研试题中的应用。

  (2012、数学一、21) A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且 (1)、求A的特征值和特征向量

  (2)、求A

  解析:(1)、由于 ,设 ,则

  即 而 知A的特征值为 对应的特征向量分别为

  由于 故 所以

  由于A是三阶实对称矩阵,故不同特征值对应的特征向量相互正交,设 对应的特征向量为 则

  即 解此方程组,得 ,故 对应的特征向量为 (2)、由于不同特征值对应的特征向量已经正交,只需单位化:

  令 则

  =

  = 好了今天的内容就介绍到这里,大家对实对称矩阵的特征值与特征向量了解了吗,最后,中公考研祝大家金榜题名!

     以上就是广东研招网小编为大家整理发布的“考研数学之实对称矩阵的特征值和特征向量”,希望有报考意向的2020考研备考考生有所收获,更好地进行考研备考复习,最后金榜题名,考上自己理想的院校。更多高校考研招生简章考研专业目录复习指导考研报录比考研热点等研究生招生信息尽在广东中公考研。

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